Neste artigo traremos a demonstração simples de que \(\sqrt{2}\) não é um número racional. Para tanto relembraremos alguns outros resultados também simple sobre os inteiros.

Lembramos que se \(m \in \Bbb{Z}\) é par e \(n \in \Bbb{Z}\) é impar, então podemos escrevê-los na forma

\[m = 2k_1 \text{ e } n = 2k_2 + 1,\]

onde \(k_1, k_2 \in \Bbb{Z}\).

Um resultado relevante para o nosso objetivo final é que:

Res.1: Dado \(p \in \Bbb{Z}\), se \(p^2\) é par, então \(p\) é par.

Dem.: Suponhamos por absurdo que \(p^2\) é par e \(p\) é ímpar. Então, se \(p\) é ímpar, podemos escrevê-lo como

\[p = 2k+1.\]

Sendo assim

\[p^2 = (2k+1)^2\] \[p^2 = 4k^2 + 4k + 1\] \[p^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1.\]

Fazendo \(k_1 = 2k^2 + 2k,\) teremos

\[p^2 = 2k_1 + 1,\]

que é um número ímpar. Absurdo, pois por hipótese \(p^2\) é par.

Agora veremos a demonstração de que

Proposição: \(\sqrt{2}\) não é um número racional.

Dem.: Vamos supor por absurdo que \(\sqrt{2}\) é um número racional.

Sejam \(p, q \in \Bbb{Z^*}\) tais que \(mdc(p,q) = 1\) e de forma que

\[\sqrt{2} = \frac{p}{q}.\]

Com estas considerções, o racional \(p/q\) está escrito na sua forma mais simples. Agora façamos

\[(\sqrt{2})^2 = (p/q)^2,\] \[2 = \frac{p^2}{q^2},\]

Escrevendo \(p^2 = 2q^2,\) temos que \(p^2\) é par e, pelo resultado (Res.1), \(p\) é par.

Como \(p\) é par poderá ser escrito como \(p = 2k\), \(k \in \Bbb{Z}\). Assim,

\[p^2 = 2q^2,\] \[(2k)^2 = 2q^2,\] \[4k^2 = 2q^2,\] \[2k^2 = q^2,\]

de forma que \(q^2\) também é par e por conseguinte (Res.1) \(q\) também é par. Absurdo, pois por hipótese \(mdc(p,q) = 1\).

Assim está provado que não podemos escrever \(\sqrt{2}\) na forma racional \(p/q.\)

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