O princípio da indução é uma ferramenta muito útil para demonstrar propriedades inerentes principalmente aos números naturais.

Neste artigo iremos enunciar o princípio da indução de duas formas e demonstrar que elas são equivalentes. Antes porém iremos ilustar a simplicidade da técnica para demonstrar que a soma dos \(n\) primeiros números naturais é obtida pela fórmula:

\[\begin{align} \tag{eq:1} 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}. \end{align}\]

A técnica consiste em provarmos primeiramente que o resultado é válido para \(1\), assumirmos que vale para um certo \(k \in \Bbb{N}\) e, ao provarmos que vale para o seu sucessor \(k+1\), vale para todo \(n \in \Bbb{N}\).

1. Mostrar que para \(n=1\), (eq:1) é verdadeira. De fato,

\[1 = \frac{1(1+1)}{2}.\]

1. Vamos supor que para um dado \(k \in \Bbb{N}\), \(1+2+3+...+k = k(k+1)/2\) é verdadeira e verificar se para o seu sucessor \(k+1\) também o seja.

2. Basta desenvolver o segundo membro de

\[(1+2+3+...+k)+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1).\]

Temos que

\[\frac{n(n+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2}\] \[\frac{n(n+1)}{2} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2},\]

ou como queríamos

\[(1+2+3+...+k)+(k+1) = \frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}.\]

Assista ao vídeo: Axiomas de Peano