A caracterização analítica do Conjunto dos Números Naturais foi postulada por um matemático italiano chamado de Giusepe Peano em torno de 1900.

Basicamente ele estabeleceu que o conjunto dos números Naturais ($\Bbb{N}$) é caracterizado por:

• Todo número natural $n$ tem um sucessor $s(n)$;
• Dois números com o mesmo sucessor são iguais;
• Existe um número $n_0$ que não é sucessor de outro qualquer;
• Se um dado subconjunto $X$, dos naturais, possui $n_0$ e, para cada um dos seus elementos $n$, o seu sucessor $s(n)$ também estiver em $X$, então $X$ é o próprio $\Bbb{N}$.

O segundo axioma afirma que a função sucessor $s:\Bbb{N} \rightarrow \Bbb{N}$ é injetiva. O terceiro axioma nos fala do número $1$. O último axioma será estudado mais tardo como sendo o Princípio da Indução.

A notação mais formal apresenta apenas três axiomas, como segue.

Os Axiomas de PeanosPermalink

Os conjunto dos números Naturais é caracterizado por:

1. Existe uma função injetiva $s:\Bbb{N} \rightarrow \Bbb{N}$ e a imagem $s(n)$ de cada número $n \in \Bbb{N}$ chama-se sucessor de $n$;

2. Existe um único $1 \in \Bbb{N}$, tal que $1 \neq s(n)$, para todo $n \in \Bbb{N}$.

3. Se $X \subset \Bbb{N}$ é tal que $1 \in X$ e $n \in X$ implica em $s(n) \in X$, então $X = \Bbb{N}$.

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