A caracterização analítica do Conjunto dos Números Naturais foi postulada por um matemático italiano chamado de Giusepe Peano em torno de 1900.

Basicamente ele estabeleceu que o conjunto dos números Naturais (\(\Bbb{N}\)) é caracterizado por:

• Todo número natural \(n\) tem um sucessor \(s(n)\);
• Dois números com o mesmo sucessor são iguais;
• Existe um número \(n_0\) que não é sucessor de outro qualquer;
• Se um dado subconjunto \(X\), dos naturais, possui \(n_0\) e, para cada um dos seus elementos \(n\), o seu sucessor \(s(n)\) também estiver em \(X\), então \(X\) é o próprio \(\Bbb{N}\).

O segundo axioma afirma que a função sucessor \(s:\Bbb{N} \rightarrow \Bbb{N}\) é injetiva. O terceiro axioma nos fala do número \(1\). O último axioma será estudado mais tardo como sendo o Princípio da Indução.

A notação mais formal apresenta apenas três axiomas, como segue.

Os Axiomas de Peanos

Os conjunto dos números Naturais é caracterizado por:

1. Existe uma função injetiva \(s:\Bbb{N} \rightarrow \Bbb{N}\) e a imagem \(s(n)\) de cada número \(n \in \Bbb{N}\) chama-se sucessor de \(n\);

2. Existe um único \(1 \in \Bbb{N}\), tal que \(1 \neq s(n)\), para todo \(n \in \Bbb{N}\).

3. Se \(X \subset \Bbb{N}\) é tal que \(1 \in X\) e \(n \in X\) implica em \(s(n) \in X\), então \(X = \Bbb{N}\).

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