As operações e os conjuntos – iii
No artigo anterior, nós tratamos sobre o conjunto dos números naturais, fizemos algumas operações de contagem e dissemos que \(\mathbb{N}\) é fechado em relação à adição e também em relação à multiplicação. No entanto, não pudemos afirmar a mesma coisa em relação à subtração.
Claro que um problema do tipo \(130 - 300\) terá uma solução e, neste caso, é \(-70\). Mas se \(-70\) não está em \(\Bbb{N}\), qual conjunto conterá tais números?
Em complemento aos Naturais, apresentamos o Conjunto do Números Inteiros Relativos ao Zero, ou simplesmente os Inteiros, que é representado pela letra maiúscula, também estilizada zê: \(\Bbb{Z}\). Que pode ser assim apresentado:
Vê-se que o zero não possui sinal por ser neutro. Usualmente não se colocam os sinais de mais nos números positivos, assim
\[\Bbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}.\]Vemos então que a solução do problema anterior tem agora cobertura: \(-70 \in \Bbb{Z}\). Mais do que isso:
ou seja, os Naturais constituem um subconjunto dos Inteiros. Em símbolos, \(\Bbb{N} \subset \Bbb{Z}\).
Logo \(\Bbb{Z}\) cobre, até agora, a solução de todos os nossos problemas.
Um pouco mais sobre os Inteiros
Alguns subconjuntos
Dado que todo conjunto é subconjunto de si próprio, temos que
\[\Bbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} \subset \Bbb{Z}.\]Conjunto dos Inteiros não nulos
\[\Bbb{Z}^* = \{..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...\} \subset \Bbb{Z}.\]Conjunto dos Inteiros não negativos
\[\Bbb{Z}_+ = \{0, 1, 2, 3, ...\} = \Bbb{N} \subset \Bbb{Z}.\]Conjunto dos Inteiros positivos
\[\Bbb{Z}_+^* = \{1, 2, 3, 4, ...\} = \Bbb{N}^* \subset \Bbb{Z}.\]Conjunto dos Inteiros não positivos
\[\Bbb{Z}_- = \{..., -3, -2, -1, 0\} \subset \Bbb{Z}.\]Conjunto dos Inteiros negativos
\[\Bbb{Z}_-^* = \{..., -4, -3, -2, -1\} \subset \Bbb{Z}.\]Conjunto dos Inteiros pares
\[\{2k; k \in \Bbb{Z}\} = \{..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...\} \subset \Bbb{Z}.\]Conjunto dos Naturais ímpares
\[\{2k+1; k \in \Bbb{Z}\} = \{..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...\} \subset \Bbb{Z}.\]Relação de ordem
Para todo \(z \in \Bbb{Z}\), teremos sempre que \(z \lt z+1\) (equivalentemente \(z-1 \lt z\)). É o mesmo que escrever
\(... \lt -3 \lt -2 \lt -1 \lt 0 \lt 1 \lt 2 \lt 3 \lt ...\).
Operações com os Inteiros
Vimos que os Naturais também são Inteiros, logo já temos que \(\Bbb{Z}\) é fechado em relação à adição e à multiplicação. Ótimo!
Nos próximos problemas, para efeitos didáticos, associaremos quando for possível aos números inteiros positivos o termo crédito, da mesma forma aos negativos o termo débito.
Situação 1: Antônio precisa adquirir um bem no valor de R$ 165,00. Como no momento presente não estava com esse dinheiro à disposição, resolveu tomar emprestado com sua cunhada Marta esta quantia. Recebido o empréstimo, Antônio fez a compra. No final da semana Antônio recebeu um adiantamento e pagou a Marta a quantia de R$ 100,00.
Indagação Antônio liquidou (mesmo que zerar) seu empréstimo com Marta?
Claro que não! Como devemos expor o problema matematicamente?
\[-165 + 100 = -65\]Interpretação: Deve 165 e credito de 100. Ficou devendo 65.
Podeŕamos também escrever
\[+100 - 165 = -65\]ou
\[100 - 165 = -65\]Interpretação: Tem um crédito de 100, porém deve 165. Ficou devendo 65.
Em todos os casos, o resultado é -65. Ou seja, após a efetização de todas as transações, ainda possui um débito de R$ 65,00.
Toda vez que o total de créditos é menor que o total de débitos, ainda restará débito!
Faça você mesmo!
\[\begin{align} \tag{Ex:1} 40 - 60 +50 - 70 +60 -80 = -60. \end{align}\]O que temos aqui: Somando todos os créditos, temos (+150) e somando-se todos os débitos, obtemos (-210), logo é normal que operando as transações, reste um débito de 60.
Como interpretaríamos a expressão (Ex:1)?
Imagine que você opera com um credor, sua conta esta zerada e faz as seguintes transações:
- Certo dia credita R$ 40,00;
- Depois toma emprestado R$ 60,00;
- Em outro dia faz um depósito de R$ 50,00;
- Volta e faz um débito de R$ 70,00;
- Volta a fazer um depósito de R$ 60,00;
- Em outro dia faz um débito de R$ 80,00.
Simples de entender o fato da conta estar no vermelho e com débito de R$ 60,00.
No próximo artigo continuaremos tratando um pouco mais sobre os Inteiros. Até lá!