Neste artigo abordaremos sobre quais operações o conjunto dos números naturais oferece suporte. Ou ainda, como foi dito no artigo anterior, para quais operações \(\Bbb{N}\) é fechado.

No primeiro artigo desta série, nós revimos alguns conceitos sobre os conjuntos, inclusive apresentamos sutilmente o primeiro conjunto numérico do nosso interesse, nomeadamente o conjunto dos números naturais, que é representado pela letra ene maiúscula estilizada \(\Bbb{N}\).

Um pouco mais sobre os Naturais

Alguns subconjuntos dos Natutais

Dado que todo conjunto é subconjunto de si próprio,

\[\Bbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\} \subset \Bbb{N}.\]

Conjunto dos Naturais não nulos

\[\Bbb{N}^* = \{1, 2, 3, ...\} \subset \Bbb{N}.\]

Conjunto dos Naturais pares

\[\{2k; k \in \Bbb{N}\} = \{0, 2, 4, 6, ...\} \subset \Bbb{N}.\]

Conjunto dos Naturais ímpares

\[\{2k+1; k \in \Bbb{N}\} = \{1, 3, 5, 7, ...\} \subset \Bbb{N}.\]

Relação de ordem

Para todo \(n \in \Bbb{N}\), teremos sempre que \(n \lt n+1\). É o mesmo que escrever

\[0 \lt 1 \lt 2 \lt 3 \lt ...\]

Uma observação sobre as notações de inclusão e de ordem. Melhor que dar nomes para as notações \(<, \leq, \geq\) e \(>\), é entender o seu desenho. A abertura estará sempre para o lado que se julga maior. A mesma ideia está nas notações \(\subset, \subseteq, \supseteq\) e \(\supset\).

Por exemplo, escrever que \(2 \lt 5\) tem o mesmo interpretação de que \(5 \gt 2\), assim como, \(x \lt 9\) tem o mesmo significado de \(9 \gt x\). Da mesma forma para conjuntos, escrever \(\{0, 1, 2, 3\} \subset \Bbb{N}\), tem o mesmo significado que \(\Bbb{N} \supset \{0, 1, 2, 3\}\). Em última análise, muda-se apenas a forma de ler ou a ordem de importâcia do objeto em cada caso.

Os Naturais e a contagem

Desde os tempos mais remotos as pessoas se deparavam com a necessidade de contar… É assim que os criadores de ovelhas, por exemplo, precisavam constantemente verificar o tamanho do seu rebanho. O problema de ontem e de hoje cons iste em contar quantas ovelhas saem para o pasto e quntas retornam ao final de em dado período de tempo. Nada anormal que sejam observados acréscimos ou perdas.

O resultado obtido pela contagem na saída ao pasto e, da mesma forma, o do retorno é associado um número. Asseguramos que esse número é um número natural.

Claro que se não havia o que contar, nada era registrado. Com o passar do tempo, certamente este nada passou a ser registrado como zero. Vale registrar que alguns autores não consideram o zero como um número natural, outros sim. Neste estudo iremos considerar zero um número natural.

Operações com os Naturais

Adição, subtração e multiplicação

Suponha que um proprietário tenha contado seu rebanho de ovelhas antes do pastor levá-lo ao pasto e que registrou 302 cabeças. Quando do retorno do pasto (que pode levar dias), fez a contagem e deduziu que haviam 15 cabeças a mais como resultado do nascimento novos animaizinhos e agora já haviam 317 cabeças.

Remotamente, não se sabe precisar como seria feita esta dedução. Por um cálculo simples faríamos

\[302 + 15 = 317\] \[317 - 302 = 15.\]

Com o passar do tempo, com a evolução do vocabulário, poderíamos ter a seguinte situação: O proprietário saiu com 120 cabeças para negociar no mercado de ovelhas e, entre trocas, vendas e aquisições, viu que seu rebanho havia duplicado ao retornar. O cálculo poderia ser registrado de forma simples assim

\[2 \times 120 = 240.\]

Bons tempos!

Agora vamos imaginhar uma situação meio exótica em que um calculista das épocas remotas auxiliava os negócios mais complicados no mecado de ovelhas.

A situação: Um certo proprietário havia levado ao mercado 130 cabeças de ovelhas, vendeu tudo a um mercador e recebeu o dinheiro de um total de 200 cabeças, sendo que e o restante das ovelhas deveria ser entregue no dia de feira da semana seguinte. Se o calculista tivesse registrado

\[200 - 130 = 70\]

Teria que registrar em algum lugar que havia uma dívida de 70 ovelhas.

Mas se tivesse registrado

\[130 - 200 = ??,\]

qual seria a resposta?

A constatação é a que se o tal calculista só conhecesse os números naturais, talvez nem escrevesse este absurdo! De fato não há número natural para expressar este resultado.

Tome nota

• O conjunto \(\Bbb{N}\) é fechado em relação a operação de adição, pois para quaisquer que sejam os números naturais \(m,n \in \Bbb{N}\), temos \(m + n \in \Bbb{N}\).

• O conjunto \(\Bbb{N}\) é fechado em relação a operação de multiplicação, pois para quaisquer que sejam os números naturais \(m,n \in \Bbb{N}\), temos \(m \times n \in \Bbb{N}\).

• O conjunto \(\Bbb{N}\) NÃO é fechado em relação a operação de subtração, pois \(5\) e \(6\) são naturais, porém \(5 - 6 \notin \Bbb{N}\).

Mas nós não poderemos realizar esta operação \(130 - 300?\)

Trataremos desta e de outras situações nos próximos artigos!