Este é o primeiro de uma série de artigos que escreveremos com o objetivo de realizar um estudo singelo sobre os conjuntos numéricos a partir das operações conhecidas. É sigelo, pois não demonstraremos nenhum resultado aqui enunciado. Os conjuntos irão aparecer na medida em que deles necessitemos.

A ideia é problematizar as situações dentro de cada conjunto numérico apresentado. Na medida do possível, com situações simples, tentaremos exaurir os Conjuntos já conhecidos para apresentarmos um outro. De forma que o problema, até então sem solução, encontre abrigo, ou seja, um novo conjunto.

Para dar um pouco de formalidade aos estudos que aqui tratados vamos lembrar alguns conceitos basilares sobre os conjuntos.

Conjuntos e elementos

Na matemática, um conjunto é uma entidade que agrega coisas que cumprem determinadas propriedades. Tais coisas são chamadas de elementos. Esta forma de estabelecer um conjunto é bastante abrangente, no sentido de que, se enunciarmos uma propriedade e que não haja algum elemento capaz de cumprir, esse conjunto não terá qualquer elemento, ou seja, é um conjunto vazio. Visite o artigo Conjunto vazio para mais detalhes.

A que relação que poderá existir entre um elemento e um conjunto é chamada de relação de pertinência, enquanto que e a relação entre conjuntos é chamada de relação de inclusão.

A notação matemática hoje é bastante consistente e facilita sobremedida sua escrita bem como a nossa compreenção sobre o que está escrito. Usam-se em geral as letras maiúscula do alfabeto latino (\(A, B, C,..\)) para designarmos os conjuntos e as minúsculas (\(a, b, c, ...\)) do mesmo alfabeto para designarmos os elementos de um conjunto.

Na medida do possível, representamos um conjunto elencando seus elementos entre chaves e separando-os por vírgualas ou ponto e vígulas. Assim, podemos escrever

\[P = \{a, e, i, o, u\}\]

e diremos que \(P\) é o conjunto das nossas vogais minúsculas.

Quando não quisermos nos alongar com a escrita e não causar nenhuma confusão de entendimento, poderemos usar as reticências para representar uma sequêcia lógica de raciocínio. Por exemplo,

\[Q = \{1, 2, 3, ..., 9, 10\}\]

e

\[\Bbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}\]

será o mesmo que escrevermos \(Q = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) e que \(\Bbb{N}\) é o conjunto que começa no zero, passa pelo em, pelo dois, pelo três e é infinito.

À propósito, o conjunto \(\Bbb{N}\) apresentado acima é chamado de Conjunto dos Númerios Naturais. Daqui para frente diremos apenas os Naturais.

As relações de pertinencia (elemento e conjunto)

Usamos a notação \(x \in J\) e \(y \notin K\), para dizermos que \(x\) é um elemento do conjunto \(J\) e que \(y\) não é um elemento do conjunto \(K\), respectivamente. Abreviadamente dizemos “\(x\) pertence a \(J\)” e “\(y\) não pertence a \(K\)”.

Exemplos

Dado o conjunto \(Q\) acima, temos que

\[3 \in Q,\] \[16 \notin Q.\]

Quando não é possivel ou é enfadonho arrolarmos todos os elementos de um conjunto entre chaves, podemos fazê-lo determinando uma regra ou propriedade que seus elementos cumprem. Podemo ter, então

\[L = \{ x ; \text{"x cumpre determinada regra"}\},\]

e leríamos: \(L\) é o conjunto dos \(x\) tal que, \(x\) cumpre determinada regra. É comum encontrarmos nos livros didáticos, em vez de ponto e vírgula (;), uma barra (/ ou |) para designar o tal que.

Exemplo

\[D = \{n \in \Bbb{N}; n \le 12 \} = \{0, 1, 2, 3, ..., 11, 12 \}.\]

Mais à frente, veremos mais formas.

As relações de inclusão (entre conjuntos)

Quando todos os elementos de um conjunto \(P\) são também elementos do cojunto \(Q\), diremos que \(P\) é um subcjunto de \(Q\) ou ainda que \(P\) está contido em \(Q\) e escreveremos \(P \subset Q\).

Se invertermos a ordem de escrita dos dois conjuntos \(P\) e \(Q\) e escrevermos \(Q \supset P\), diremos que \(Q\) contém \(P\). Contudo, continuaremos entendendo que \(P\) é subconjunto de \(Q\).

Exemplo

Temos que \(P = \{2k; k \in \Bbb{N}\} = \{0, 2, 4, ...\}\) é conjunto dos números naturais pares e portanto, \(P \subset \Bbb{N}\) ou ainda, \(\Bbb{N} \supset P\).

Em particular, as relações entre conjunto dão encejo a uma álgebra muito especial. À medida que necessitarmos de mais substância, nós faremos mais menções.

Conjunto fechado em relação a uma operação

Nos cursos superiores de Matemática, usa-se um conceito muito apropriado para relatar fatos sobre um conjunto e uma determinada operação entre seus elementos. Dado um conjunto \(M\) e uma operação \(\oplus\), dizemos que \(M\) é fechado em relação à operação \(\oplus\), se para todo \(x,y \in M\), tivermos \(x \oplus y \in M\).

No próximo artigo desta série, nós avançaremos um pouco mais.